Problème de la précession elliptique :

Une expérience tentée avec un pendule court, par exemple de 2 mètres, ne peut pas réussir sans précautions particulières. Prenons par exemple un fil à plomb. Lors du lancement de ce « mini » pendule, il est impossible d’éviter de donner au plomb, au moment du lancer, une faible vitesse latérale ; et celui-ci décrira donc, en négligeant encore sa variation de hauteur, une trajectoire légèrement elliptique. On constate également que, de plus, le grand axe de l’ellipse tourne rapidement dans le même sens que le sens de rotation du plomb sur l’ellipse. Ce mouvement rapide, et dont le sens est imprévisible avant le lancer, n’a aucun rapport avec le mouvement de la terre, ni même avec la force de Coriolis. Il s’agit d’une rotation parasite qui s’ajoute ou se retranche à la rotation souhaitée. Dans ces conditions, la réussite de l’expérience de Foucault est gravement compromise, à moins de trouver un moyen d’éliminer l’ellipticité de la trajectoire.

Pour une explication rapide de ce phénomène notons que le pendule sphérique est un système à deux degrés de liberté. Deux mouvements d’oscillation, dans des directions perpendiculaires, sont donc possibles en même temps. C’est ce qui peut arriver à cause d’une perturbation, ou d’un mauvais lancer. De plus, même si au départ la trajectoire est parfaitement rectiligne, si un défaut mécanique de construction introduit un couplage entre les deux modes de vibration alors la trajectoire va devenir de plus elliptique avec le temps.

Or, le période du pendule simple vaut : (Formule de Bordas)

où q_o est l’amplitude de l’oscillation exprimée en radians, L la longueur du fil et g l’accélération de la pesanteur. Cette période augmente donc avec la longueur du fil et très légèrement avec l’amplitude des oscillations. Ainsi, dans le cas du mouvement elliptique du pendule sphérique, la période du mouvement le long du petit axe diffère très légèrement de celle le long du grand axe. Par conséquent, le trajectoire ne peut plus être fermée : les axes de l’ellipse tournent.

Le calcul du comportement du pendule sphérique, calcul effectué sans tenir compte de la rotation de la terre, montre que la vitesse de rotation de l’ellipse augmente avec l’amplitude des oscillations et diminue si la période augmente :

où W est la vitesse angulaire du grand axe de l’ellipse, q₁ et q₂ sont les deux amplitudes d’oscillations exprimées en radians. On comprend mieux maintenant l’intérêt de travailler aux petits angles et avec un long pendule. Cette formule peut encore s’écrire :

où a et b sont les amplitudes exprimées en mètres et T la période. On peut utiliser ces résultats pour estimer l’importance de la rotation du plan d’oscillation du pendule due à un mouvement elliptique éventuel vis-à-vis de la rotation due à la rotation de la terre. A l’altitude l, cette dernière s’effectue à la vitesse angulaire W_o. sinl où W_o est la vitesse angulaire de la rotation de la terre. Le lancement du pendule depuis sa position de repos par rapport à la terre ralentit la vitesse angulaire de rotation du plan du pendule. Cet effet est négligeable si l’amplitude est faible.